Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinB•sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式转化，求得sinA的值，进而求得A．
（2）利用三角形面积公式和已知条件求得c，然后利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得2R，最后代入sinBsinC的表达式中求得答案．

解答 解：（1）$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，即$\frac{2sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
又∵sinB≠0，
∴2cosA=1，
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．                              
（2）解：∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=5$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×5×c×sin60°=5$\sqrt{3}$，
∴c=4．
又∵a²=25+16-40×$\frac{1}{2}$=21，
∴a=$\sqrt{21}$．
∴sinB•sinC=$\frac{b}{a}$sinA-$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{5}{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的转化和化归．