Question

15．已知△ABC中，AB=2，$AC=\sqrt{2}BC$，则△ABC的面积的最大值为 （　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设BC=a，则AC=$\sqrt{2}$a，利用余弦定理可求得cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，再利用三角形的面积公式可求得S_△ABC=asinB，继而可求S_△ABC²=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，从而可得△ABC面积的最大值．

解答 解：依题意，设BC=a，则AC=$\sqrt{2}$a，又AB=2，
由余弦定理得：（$\sqrt{2}$a）2=a²+AB²-2a•ABcosB，
即a²+4acosB-4=0，
∴cosB=$\frac{4-{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$，
∴cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB，
∴S²_△ABC=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{{a}^{4}}{16}$+$\frac{3}{2}$a²-1=-$\frac{1}{16}$（a⁴-24a²）-1=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
当a²=12，即a=2$\sqrt{3}$时，2、2$\sqrt{3}$、2$\sqrt{6}$能组成三角形，
∴S²_max=8，
∴S_max=2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S²_△ABC=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8是关键，也是难点，属于难题．