Question

19．如图圆C半径为1，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且$|\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}|≥|\overrightarrow{BC}|$对任意t∈（0，+∞）恒成立，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1．

Answer 1

分析 两边平方，设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，整理可得t²-2tm-（1-2m）≥0，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．

解答 解：∵$|\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}|≥|\overrightarrow{BC}|$，
∴|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|，
两边平方可得：
$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+t²$\overrightarrow{AC}$≥$\overrightarrow{AC}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$²，
设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，则有：t²-2tm-（1-2m）≥0，
则有判别式△=4m²+4（1-2m）≤0，
化简可得（m-1）²≤0，即m=1，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．