Question

1．已知A（x₁，y₁）是抛物线y²=4x上的一个动点，B（x₂，y₂）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上的一个动点，N（1，0）是一定点，若AB∥x轴，且x₁＜x₂，且△NAB的周长的取值范围是_（$\frac{10}{3}$，4）．

Answer 1

分析 可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标范围计算即可．

解答 解：如图A，B分别在如图所示的实线运动，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得，抛物线y²=4x与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
在第一象限的交点横坐标为$\frac{2}{3}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则0＜x₁＜$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$＜x₂＜2，
由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|
=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂-x₁+a-ex₂
=$\frac{p}{2}$+a+$\frac{1}{2}$x₂=3+$\frac{1}{2}$x₂，
∵$\frac{2}{3}$＜x₂＜2，
∴$\frac{10}{3}$＜3+$\frac{1}{2}$x₂＜4，
故答案为：（$\frac{10}{3}$，4）．

点评 本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．