Question

在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线

l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．

（1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；

（2）已知定点A(－2，0)．

①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围；

②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，

若 ＝λ，＝，求证：λ＋为定值．

 

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)．

解得m＝2或m＝－ (舍去）．

所以m＝2．                                   

（2）①设点T(x，y)．

由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． 

由 得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．

因为 ＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．

由题意知，≠1，

故x1＝－，所以x0＝． 

同理可得x0＝．                       

因此＝，

所以＋＝6．                                

（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

即λ＋为定值6．