Question

【题目】如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，点在线段上，且平面.

（1）求证：平面；

（2）若点是线段上靠近的三等分点，点在线段上，且平面，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】

（1）证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE，即可证得结论；

（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，利用面面平行证得线面平行，再利用勾股定理，即可得答案.

（1）∵平面SAB平面ABCD，面SAB面ABCDAB，BCAB，BC面ABCD，

∴BC面SAB，又AS面SAB，∴ASBC.

∵BE面SAC，AS面SAC，

∴ASBE，又BCBEB，

∴AS面SBC.

（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，

∵ONSB，ON面SBC，SB面SBC，

∴ON面SBC，同理OM面SBC，

∵OM，ON面OMN，OMONO，

∴面OMN面SBC，

∵MN面OMN，∴MN面SBC.

由（1）得：OMON，

∴在直角三角形OMN中，ON1，OM4，

∴.