Question

如图电流强度I与时间t的关系式I=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)在一个周期内的图象；
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间；
（3）为了使I=Asin（ωx+φ）中t在任意一段

1

50

秒的时间内I能同时取得最大值和最小值，求正整数ω的最小值．

Answer 1

分析：（1）由图象的顶点纵坐标求出A，由周期求出ω，根据五点法作图求出∅．
（2）由  2kπ+

π

2

≤100πt +

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求出x的范围，即为函数的减区间．
（3）要使t在任意一段

1

50

秒能取得最大值和最小值，必须使得周期T≤

1

50

，解不等式求得ω的范围，从而得到ω的最小值．

解答：解：（1）由图可知：A=300，周期T=

1

60

-(-

1

300

)=

1

50

；由

2π

ω

=T?ω=

2π

T

=100π；
当t=-

1

300

时，ωt+φ=0，即φ=-ωt=-100π•(-

1

300

)=

π

3

；
故图象的解析式为：I=300sin(100πt+

π

3

)．
（2）由  2kπ+

π

2

≤100πt +

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得  

k

50

+

1

600

≤x≤ 

k

50

+

7

600

，k∈Z，
 故函数的减区间为  [

k

50

+

1

600

，

k

50

+

7

600

]，k∈Z．
（3）要使t在任意一段

1

50

秒能取得最大值和最小值，必须使得周期T≤

1

50

；
即

2π

ω

＜

1

50

 ，  ω＞100π  ， ω＞314.2，由于ω为正整数，故ω的最小值为315．

点评：本题考查由 y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式得方法，正弦函数的单调区间，以及参数的几何意义，
求出函数的解析式是解题的突破口．