Question

【题目】已知以点为圆心的圆过原点O，与x轴另一个交点为M,与y轴另一个交点为N，

（1）求证:△MON的面积为定值;

（2）直线4x+ y-4=0与圆C交于点A、B,若,求圆C的方程

（3）若直线l:x+ y -5=0和圆C交于点A,B两点，且AB=,求圆心C的坐标。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）（1,2）或（2,1）．

【解析】

试题分析：（1）关键是求出的面积，首先写出圆的方程,可化简后分别令和求得的坐标，从而得的面积；（2）由，知在的中垂线上，从而，因此可得斜率，由此可得，得圆方程；（3）已知直线与圆相交弦长，可由垂径定理求得弦长，即先求得圆心到直线的距离，由勾股定列出关于的方程，解得可得圆心坐标．

试题解析：（1）由题设知,圆C的方程为,化简得,当y=0时,x=0或2t,则;当x=0时,y=0或,则, ∴为定值

（2）∵,则原点O在AB的中垂线上,设AB的中点为H,则CH⊥AB,∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率,∴t=2 （负舍）

∴圆心C（2, ）∴圆C的方程为

（3）d=，r= ，弦长为，列出方程：

，令，方程可化为，解得

m=3或-13（舍），则t=1或2，所以圆心C（1，2）或（2，1）．