Question

7．已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，过点P的直线l垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2），求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心C必然在直线l上，由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线AB的斜率，进而求出实数a的值，然后由已知直线ax-y+1=0，变形得到y=ax+1，代入（1）中求出的圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，即可求出a的取值范围，发现求出的a的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．

解答 解：（1）∵圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2），
∴设圆心坐标为C（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2，∴圆心C（3，-2），半径r=|MC|=3，
故圆的标准方程为（x-3）²+（y+2）²=9…（5分）
（2）把直线ax-y+1=0，即y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0…（7分）
设符合条件的实数a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而k_AB=a=-$\frac{1}{{k}_{PC}}$，所以a=$\frac{1}{2}$，…（9分）
由于$\frac{1}{2}＞0$，故满足题意的实数a不存在．…（10分）

点评 此题考查了利用待定系数法求圆的方程，垂直平分线的性质及方程与函数的综合．此题第二问利用的方法是反证法，此方法的步骤为：先否定结论，然后利用正确的推理得出与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，故原结论成立．