题目内容
已知数列{an}满足a1=12，an+1-an=2n，则
的最小值为
| an | n |
6
6
．分析：aa2-a1=2，a3-a2=4，…，an+1-an=2n，这n个式子相加，就有an+1=12+n（n+1），故
=n+
-1，由此利用导数能够求出
的最小值．
| an |
| n |
| 12 |
| n |
| an |
| n |
解答：解：a2-a1=2，
a3-a2=4，
…
an+1-an=2n，
这n个式子相加，就有
an+1=12+n（n+1），
即an=n（n-1）+12=n2-n+12，
∴
=n+
-1，
设y=n+
-1，
则y′=1-
，
由1-
＞0，得n＞2
，
由1-
＜0，得-2
＜n＜2
，
∵n＞0，
∴
=n+
-1在（0，2
]上递减，在[2
，+∞）上递增，
∴当n=3，或n=4时，
取最小值6．
故答案为：6．
a3-a2=4，
…
an+1-an=2n，
这n个式子相加，就有
an+1=12+n（n+1），
即an=n（n-1）+12=n2-n+12，
∴
| an |
| n |
| 12 |
| n |
设y=n+
| 12 |
| n |
则y′=1-
| 12 |
| n2 |
由1-
| 12 |
| n2 |
| 3 |
由1-
| 12 |
| n2 |
| 3 |
| 3 |
∵n＞0，
∴
| an |
| n |
| 12 |
| n |
| 3 |
| 3 |
∴当n=3，或n=4时，
| an |
| n |
故答案为：6．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式和导数的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目