Question

已知f(x)＝3^x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3^ax－4^x的定义域为[－1,1]．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)判断g(x)的单调性；

(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．

Answer 1

 (1)因为f(a＋2)＝18，f(x)＝3^x，

所以3^a＋2＝18⇒3^a＝2，

所以g(x)＝(3^a)^x－4^x＝2^x－4^x，x∈[－1,1]．

(2)g(x)＝－(2^x)²＋2^x＝－²＋.

当x∈[－1,1]时，2^x∈，

令t＝2^x，所以y＝－t²＋t＝－²＋.

故当t∈时，y＝－t²＋t＝－²＋是减少的，

又t＝2^x在[－1,1]上是增加的，

所以g(x)在[－1,1]上是减少的．

(3)因为方程g(x)＝m有解，即m＝2^x－4^x在[－1,1]内有解．由(2)知g(x)＝2^x－4^x在[－1,1]上是减少的，

所以－2≤m≤，

故m的取值范围是.