题目内容

8．正整数x1、x2、…、x7满足x6=144，xn+3=xn+2（xn+1+xn），n=1，2，3…，求x7．

分析 通过xn+3=xn+2（xn+1+xn）可知$\frac{{x}_{6}}{{x}_{5}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{3}}$均为正数，进而计算即得结论．

解答 解：∵xn+3=xn+2（xn+1+xn），
∴$\frac{{x}_{n+3}}{{x}_{n+2}}$=xn+1+xn，
又∵x1、x2、…、x7均为正整数，
∴$\frac{{x}_{6}}{{x}_{5}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$均为正整数，
∴$\frac{{x}_{6}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{3}}$均为正整数，
又∵x6=144，
∴x5=18、x4=6、x3=2、x2=1、x1=2，
或x5=16、x4=8、x3=1、x2=1、x1=7，
①当x5=18、x4=6、x3=2、x2=1、x1=2时，
x7=x6（x5+x4）=144（18+6）=3456；
②当x5=16、x4=8、x3=1、x2=1、x1=7时，
x7=x6（x5+x4）=144（16+8）=3456；
综上所述，x7=3456．

点评 本题考查数列的通项，找出内在规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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