Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．
（1）若$a=\sqrt{2}$，△ABM的面积为1，求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上．若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线$AF：y=-\frac{b}{c}x+b$，直线BM：y=$\frac{c}{b}$x-b．联立可得M．利用S_△ABM=$\frac{1}{2}2b•$x_M，$a=\sqrt{2}$，a²=b²+c²．
（2）得出M，D．代入椭圆方程化简，考察其方程是否有解即可得出．

解答 解：（1）直线$AF：y=-\frac{b}{c}x+b$，直线BM：y=$\frac{c}{b}$x-b．
联立可得M$（\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}2b•$x_M=$\frac{1}{2}×2b×\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}}$=1．
又∵$a=\sqrt{2}$，∴b=c=1．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵M$（\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$，
∴D$（\frac{4{b}^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（4{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$．
代入椭圆方程得$\frac{16{b}^{4}{c}^{2}}{{a}^{6}}$+$\frac{（4{c}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{a}^{4}}$=1，
化简得2e⁴-2e²+1=0，
此方程无解，
∴不存在这样的椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、对称性问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．