Question

已知函数f（x）=cos2x+asinx
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值；
（Ⅲ）若a∈R，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=2代入函数解析式，利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次函数的性质求出函数f（x）的值域即可；
（Ⅱ）函数f（x）解析式配方后，利用二次函数的性质表示出最小值，根据最小值为-6，即可求出实数a的值；
（Ⅲ）将函数解析式配方后，分a＜-2；-2≤a≤2；以及a＞2三种情况，利用二次函数的性质求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的值域为[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
∴f（x）_min=

a(a≤0) -a(a＞0)

，
∵f（x）的最小值为-6，
则a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
则f（x）_max=

-a(a＜-2) a2 4 +1(-2≤a≤2) a(a＞2)

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．