题目内容

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，每个题答对的概率分别为
1
2
，
1
2
，
1
3
，
1
4
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每个值的概率，列出分布列，从而求得
所得分数的数学期望．
解答：解：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为
1
2
，有一道题答对的概率为
1
3
，还有一道题答对的概率为
1
4
，所以，得40分的概率为  P=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为P(ξ=20)=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8
；
同样可求得得分为25分的概率为P(ξ=25)=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48
；
得分为30分的概率为P(ξ=30)=
17
48
；
得分为35分的概率为P(ξ=35)=
7
48
；
得分为40分的概率为P(ξ=40)=
1
48
．
于是ξ的分布列为：
ξ 20 25 30 35 40
P
6
48
17
48
17
48
7
48
1
48
故Eξ=20×
6
48
+25×
17
48
+30×
17
48
+35×
7
48
+40×
1
48
=
335
12
．
该考生所得分数的数学期望为
335
12
．
点评：本题考查独立事件的概率，求离散型随机变量的分布列与数学期望，求出离散型随机变量取各个值的概率，是解题的
难点．
练习册系列答案
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一学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
1
3
，参加第五项不合格的概率为
1
4
．
（1）求该生被录取的概率．
（2）记该生参加考试的项数为ξ，求ξ的分布列和期望．
（2013•济南一模）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
1
2
，参加第五项不合格的概率为
2
3
，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．
某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
ξ 0 1 2 3
P 0.12 a b 0.12
（1）求p，q的值；
（2）求数学期望Eξ

某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为

（1）求该生被录取的概率；

（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．

 

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