Question

（2013•济南一模）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为

1

2

，参加第五项不合格的概率为

2

3

，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．
（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．

解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．
所以该生被录取的概率为P=

1

3

[（

1

2

）⁴+

1

3

C

3 4

（

1

2

）³•

1

2

]=

5

48

，
（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．
P（X=2）=

1

2

×

1

2

=

1

4

；P（X=3）=C

1 2

•

1

2

•

1

2

•

1

2

=

1

4

；P（X=4）=C

1 3

•

1

2

•（

1

2

）²•

1

2

=

3

16

；
P（X=5）=1-

1

4

-

1

4

-

3

16

=

5

16

．
该生参加考试的项数ξ的分布列为：

X	2	3	4	5
P	1 4	1 4	3 16	5 16

EX=2×

1

4

+3×

1

4

+4×

3

16

+5×

5

16

=

57

16

．

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．