Question

已知sin(

5π

4

+

α

2

)sin(

5π

4

-

α

2

)=

3

10

，α∈(

3π

2

，2π)，tan（3π-β）=

1

2

（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α-2β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据两角和与差的正弦公式可将由条件sin(

5π

4

+

α

2

)sin(

5π

4

-

α

2

)=

3

10

可得cosα=

3

5

再由二倍角公式cos2α=2cos²α-1即可求出cos2α的值．
（2）利用诱导公式由tan（3π-β）=

1

2

可得tanβ=-

1

2

再根据二倍角的正切公式可得tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=-

4

3

然后再由（1）结合α的范围可得cosα=

3

5

从而可得tanα=-

4

3

再根据两角差的正切公式即可得出tan（α-2β）的值．

解答：解：（1）∵已知sin(

5π

4

+

α

2

)sin(

5π

4

-

α

2

)=

3

10

，α∈(

3π

2

，2π)
∴

1

2

（cosα-cos

5π

2

）=

3

10

∴cosα=

3

5

∴cos2α=2cos²α-1=-

7

25

（2）∵tan（3π-β）=

1

2

∴tanβ=-

1

2

∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=-

4

3

由（1）知cosα=

3

5

，α∈(

3π

2

，2π)故sinα=-

4

5

所以tanα=-

4

3

∴tan（α-2β）=

tanα-tan2β

1+tanαtan2β

=0

点评：本题主要考查了三角函数的求值．解题的关键是熟记两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦及正切公式，两角差的正切公式！