Question

(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点. 1）若点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

1）∵点A在圆，

   

    由椭圆的定义知：|AF₁|+|AF₂|=2a， 

    ………………………………5分

2）∵函数 

∴   点F₁（－1，0），F₂（1，0）， 

   ①若，

    ∴ …………7分

   ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）

    由…………（*）

    方程（*）有两个不同的实根.

    设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程（*）的两个根

     ………………9分

     

   

     

    ………………11分

    由①②知 ………………………………12分