Question

13．如图所示，在△ABC中，FC=2BF，AC=4AE，BC=3，AC=4，∠ACB=60°，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FE}$=$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 由已知结合向量加法的三角形法则把$\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{FE}$用$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CA}$表示，然后展开向量的数量积求得$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FE}$．

解答 解：∵FC=2BF，AC=4AE，
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{CB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}$，
$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}$，
又BC=3，AC=4，∠ACB=60°，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FE}$=$（-\overrightarrow{CB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}）$
=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}-\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{9}{16}{\overrightarrow{CA}}^{2}$
=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{5}{4}|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|cos60°+\frac{9}{16}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$
=$\frac{2}{3}×9-\frac{5}{4}×3×4×\frac{1}{2}+\frac{9}{16}×16$=$\frac{15}{2}$．
故答案为：$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，是中档题．