Question

（本小题满分14分）已知离心率为的椭圆与直线相交于两点（点在轴上方），且．点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．

Answer 1

，（0,4）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得，则，设椭圆方程为

由题意可知点在椭圆上，

所以．解得．

故椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．

因为，所以．

设直线PA的斜率为k，则直线．

由，得……(1).

依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式成立.

即,

化简得，解得.

因为2是方程（1）的一个解，所以．

所以．

当方程（1）根的判别式时，，此时直线PA与椭圆相切.

由题意，可知直线PB的方程为．

同理，易得．

由于点A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，，

且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足.

设四边形APBQ面积为S，则

由于，故

.

当时，，即，即.

(此处另【解析】
设，讨论函数在时的取值范围.

，则当时，，单调递增.

则当时，，即.)

所以四边形APBQ面积S的取值范围是.

考点：本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系