Question

【题目】已知椭圆：过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由椭圆过点，且离心率为，列出方程组，解方程组，即可求得椭圆的方程；（2）法一：先讨论斜率为零时，再讨论斜率不为零时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及两点之间的距离公式，即可求得，即可判断点G在以AB为直径的圆外；法二：先讨论斜率为零时，再讨论斜率不为零时，设直线方程，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得，则为锐角，即可判断点G在以AB为直径的圆外．

试题解析：（1）椭圆E：过点，且离心率为

，

即，

椭圆的方程.

（2）法一：当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，

当的斜率不为时，设的方程为：，点AB中点为．

由得，

所以

从而.

所以.

，

故，

所以，故G在以AB为直径的圆外．

法二：当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，

当的斜率不为时，设的方程为：，设点，

则，

由得，

.

，

又不共线，所以为锐角，

故点G在以AB为直径的圆外．