Question

已知函数f（x）=x³-2x²+x+3，
（1）函数的极值；      
（2）x∈[

2

3

，1]时求最值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，通过对f'（x）＞0与f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间和极值；
（2）利用函数的单调性，即可求出最值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1，
令 f'（x）=0，解得x₁=

1

3

，x₂=1．                                
列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，

1

3

）、（1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（

1

3

，1）；   
当x=

1

3

时，f（x）的极大值是f（

1

3

）=

85

27

；
当x=1时，f（x）的极小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函数在[

2

3

，1]上单调递增，
∴当x=

2

3

时，f（x）的最大值是f（

2

3

）=

83

27

；
当x=1时，f（x）的最小值是f（1）=3．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查导数与单调性间的关系及应用，属于中档题．