Question

4．已知等比数列{a_n}的首项为$\frac{4}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$，其前n项和记为S，又设B_n={$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{8}$，…，$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$}（n∈N^*，n≥2），B_n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2016的最小正整数n为45．

Answer 1

分析 求出等比数列{a_n}的前n项和S，B_n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2016，即可求出最小正整数．

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为$\frac{4}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$，其前n项和记为S，
∴S=1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$，
当n=2时，B_n的所有非空子集为：{$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$}，{$\frac{1}{2}$}，{$\frac{3}{4}$}，∴S=$\frac{7}{4}$；
当n=3时，∴S=$\frac{1}{2}$×4+$\frac{3}{4}$×1+$\frac{5}{8}$×2=4；
当n≥4时，当最小值为$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2^n-1-1个非空子集，
S₁=$\frac{2n-1}{2}$；当最小值为$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$，不含$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，含$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$，共n-2个元素，有2^n-2-1个非空子集，S₂=$\frac{2n-3}{2}$，…
∴T=S₁+S₂+S₃+…+S_n=$\frac{2n-1}{2}$+$\frac{2n-3}{2}$+…+$\frac{7}{2}$+2+$\frac{5}{4}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{{n}^{2}-1}{2}$
∵S+2T≥2016，
∴1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$+n²-1≥2016
∴n≥45．
故答案为：45．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．