Question

5．定义平面向量之间的一种运算（?）如下：对任意的$\overrightarrow a=（m，n），\overrightarrow b=（p，q）$，令$\overrightarrow a?\overrightarrow b=mq-np$，下面说法正确的序号为①③④．（把所有正确命题的序号都写上）
①若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow a?\overrightarrow b=0$
②$\overrightarrow a?\overrightarrow b=\overrightarrow b?\overrightarrow a$
③对任意的$λ∈R，有（λ\overrightarrow a）?\overrightarrow b=λ（\overrightarrow a?\overrightarrow b）$
④${（\overrightarrow a?\overrightarrow b）^2}+{（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}=|\overrightarrow a{|^2}|\overrightarrow b{|^2}$．

Answer 1

分析 由向量共线的坐标表示结合新定义可得①正确；由新定义求出$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$，说明不一定相等；直接利用新定义计算可得③④成立．

解答 解：①若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq-np=0，而$\overrightarrow a?\overrightarrow b=mq-np$=0，正确；
②由题目定义可得，$\overrightarrow a?\overrightarrow b=mq-np$，$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$=pn-mq，不一定相等，错误；
③对任意的λ∈R，$（λ\overrightarrow{a}）$?$\overrightarrow{b}$=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）正确；
④$（\overrightarrow{a}?\\;\overrightarrow{b}）^{2}+（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}$=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，正确．
故答案为：①③④．

点评 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了向量模的求法，是中档题．