Question

20．已知矩形ABCD，点P满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}$，$λ∈[\frac{1}{4}，1]$，则$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 根据向量加法的三角形法则，勾股定理，向量模的定义可得$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=1+$\frac{{\;}^{\;}{\left|\overrightarrow{PC}\stackrel{\;}{\;}\right|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$，结合点P满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}$，$λ∈[\frac{1}{4}，1]$，可得$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$的范围．

解答 解：$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=$\frac{{（\overrightarrow{PB}）}^{2}+{（\overrightarrow{PD}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=$\frac{{（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}）}^{2}+{（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=$\frac{{2{\overrightarrow{PA}}^{2}{+2\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）+（}^{\;}\overrightarrow{AB}）}^{2}+{（\overrightarrow{AD}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=$\frac{{2{\overrightarrow{PA}}^{2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}+}^{\;}{（\overrightarrow{AC}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=1+$\frac{{\;}^{\;}{（\overrightarrow{PA}\overrightarrow{+AC}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=1+$\frac{{\;}^{\;}{（\overrightarrow{PC}\stackrel{\;}{\;}）}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$=1+$\frac{{\;}^{\;}{\left|\overrightarrow{PC}\stackrel{\;}{\;}\right|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}$，$λ∈[\frac{1}{4}，1]$，
∴$\frac{{\;}^{\;}{\left|\overrightarrow{PC}\stackrel{\;}{\;}\right|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$∈[0，9]，
故$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$∈[1，10]，
即$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PD}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}$的最大值为10，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是向量加法的三角形法则，勾股定理，向量模的定义，难度中档．