题目内容
8.已知函数y=f(x),x∈I,若存在x0∈I,使得f(x0)=x0,则称x0为函数y=f(x)的不动点;若存在x0∈I,使得f(f(x0))=x0,则称x0为函数y=f(x)的稳定点.则下列结论中正确的是①②⑤.(填上所有正确结论的序号)①-$\frac{1}{2}$,1是函数g(x)=2x2-1有两个不动点;
②若x0为函数y=f(x)的不动点,则x0必为函数y=f(x)的稳定点;
③若x0为函数y=f(x)的稳定点,则x0必为函数y=f(x)的不动点;
④函数g(x)=2x2-1共有三个稳定点;
⑤若函数y=f(x)在定义域I上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同.
分析 利用新定义直接判断①②的正误;通过求解方程的解,判断③④不满足新定义;⑤通过分类讨论判断满足新定义.
解答 解:对于①,令g(x)=x,可得x=$-\frac{1}{2}$或x=1,故①正确;
对于②,因为f(x0)=x0,所以f(f(x0))=f(x0)=x0,即f(f(x0))=x0,故x0也是函数y=f(x)的稳定点,故②正确;
对于③④,g(x)=2x2-1,令2(2x2-1)2-1=x,因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解x=-$\frac{1}{2}$,1,
由此因式分解,可得(x-1)(2x+1)(4x2+2x-1)=0
还有另外两解$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$,故函数g(x)的稳定点有-$\frac{1}{2}$,1,$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$,其中$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$是稳定点,但不是不动点,故③④错误;
对于⑤,若函数y=f(x)有不动点x0,显然它也有稳定点x0;
若函数y=f(x)有稳定点x0,即f(f(x0))=x0,设f(x0)=y0,则f(y0)=x0
即(x0,y0)和(y0,x0)都在函数y=f(x)的图象上,
假设x0>y0,因为y=f(x)是增函数,则f(x0)>f(y0),即y0>x0,与假设矛盾;
假设x0<y0,因为y=f(x)是增函数,则f(x0)<f(y0),即y0<x0,与假设矛盾;
故x0=y0,即f(x0)=x0,y=f(x)有不动点x0,故⑤正确.
故答案为:①②⑤.
点评 本题考查命题的真假的判断,新定义的应用,考查分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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分组 | 频数 | 频率 |
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70~90 | 0.42 | |
90~110 | 190 | |
110~130 | 60 | 0.12 |
130~150 | ||
合计 | 500 | 1.00 |
(2)估计该市文科调研测试的平均分数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
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据此估计,该班本次数学测试的平均成绩为82.
成绩分组 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |