Question

【题目】定义在R上的函数f(x)满足，.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)的单调区间；

(3)给出定义：若s，t，r满足，则称s比t更接近于r，当x≥1时，试比较和哪个更接近，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案不唯一，见解析；（3）当时，比更靠近.理由见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，利用赋值法，求出f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）＝1．然后求解f′（1），即可求出函数的解析式．

（2）求出函数的导数g′（x）＝ex-a(x-1)，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可．

（3）构造，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1≤x≤e时，当1≤x≤e时，推出|p（x）|＜|q（x）|，说明比ex﹣1+a更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明比ex﹣1+a更靠近lnx．

(1)，令x=1解得f(0)=1，

由，令x=0得，，

∴.

(2)∵，

∴，

①当时，总有，函数在R上单调递增；

②当时，由得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减；

综上，当时，总有，函数在R上单调递增；当时，由得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减.

(3)

，

设，，得在[1，+∞]上递减，

所以当1≤x≤e时，；

当x>e时，<0，而，

所以在[1，+∞)上递增，

则在[1，+∞)上递增，.

①当时，，

∴在[1，+∞)上递减，

∴

∴比更靠近；

②当时，

∴，

∴

∴递减，

∴

∴比更靠近；

综上所述，当时，比更靠近.