Question

如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（Ⅰ）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2006min时点P距离地面的高度；
（Ⅱ）当离地面50+20

3

m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意求出A、h和T的值，结合f（0）=10求得φ的值，则函数解析式可求，取t=2006求得2006min时点P距离地面的高度；
（Ⅱ）化简f（t），由f(t)＞50+20

3

求出t的取值范围，由t的区间端点值的差求得一圈中可以看到公园全貌的时间．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，A=40，h=50，T=3，
则ω=

2π

3

，且f（0）=10，故φ=-

π

2

，
∴f(t)=40sin(

2π

3

t-

π

2

)+50（t≥0）．
则f(2006)=40sin(

2π

3

×2006-

π

2

)+50=70．
故第2006min时点P所在位置与第2min时点P所在位置相同，即从起点转过

2

3

圈，其高度为70m．
（Ⅱ）由（1）知f(t)=40sin(

2π

3

t-

π

2

)+50=50-40cos

2π

3

t（t≥0）．
依题意：f(t)＞50+20

3

，
∴-40cos

2π

3

t＞20

3

，cos

2π

3

t＜-

3

2

，
2kπ+

5π

6

＜

2π

3

t＜2kπ+

7π

6

，k∈N，3k+

5

4

＜t＜3k+

7

4

．
∵3k+

7

4

-(3k+

5

4

)=

1

2

=0.5，
∴转一圈中有0.5min钟时间可以看到公园全貌．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数解析式的求法，考查了三角不等式的解法，是比较基础题．