Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底边长与侧棱的长度都是4，ABCD是正方形．
（1）求该四棱锥的高，表面积；
（2）若M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）判断OP⊥底面ABCD，利用Rt△PED中，DE=2，PD=4，得出PE=2

3

，再Rt△PEO中OE=2，求解高即可．
（2）求解V_P-ABCD=

1

3

×4²×2

2

=

32 2

3

，根据体积之比为棱长相似比的关系求解即可得出上半部分V₀=

1

8

V_P-ABCD=

4 2

3

．

解答： 解：（1）∵取CD中点E，连接PE，O为正方形．
∵四棱锥P-ABCD的底边长与侧棱的长度都是4，O是正方形ABCD的中心．
∴OP⊥底面ABCD，
∴Rt△PED中，DE=2，PD=4，
∴PE=2

3

，
∵Rt△PEO中OE=2，
∴PO=

12-4

=2

2

，
∴该四棱锥的高2

2

，
表面积=4²+4×

1

2

×4×2

3

=16+32

3

（2）V_P-ABCD=

1

3

×4²×2

2

=

32 2

3

，
∵M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截面，
∴上半部分V₀=

1

8

V_P-ABCD=

4 2

3

，
∴截得的棱台的体积=

32 2

3

-

4 2

3

=

28 2

3

点评：本题考查了空间几何体的体积，面积的求解，关键是确定高，斜高，利用直角三角形求解，难度不大，属于中档题．