题目内容
（2011•黄州区模拟）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“?”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“?”表示．设f(x)=
(x＞2)，g（x）=ax（a＞1，x＞2）．
①若?x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为
②若?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为
| x2-3x+3 |
| x-2 |
①若?x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为
[3，+∞）
[3，+∞）
；②若?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为
(1，
)
| 3 |
(1，
)
．| 3 |
分析：①利用条件求出函数f（x）的值域即可．
②要使对?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），等价于x∈（2，+∞）时f（x）的值域为g（x）值域的子集，
②要使对?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），等价于x∈（2，+∞）时f（x）的值域为g（x）值域的子集，
解答：解：①由f(x)=
=
=(x-2)+
+1，
因为x＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+
+1≥2
+1=3，
所以函数f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则m≥3，
即实数m的取值范围为[3，+∞）．
②因为a＞1，x＞2，所以g（x）≥a2，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），
则有a2≤3，解得1＜a≤
，即实数a的取值范围为（1，
]．
故答案为：①[3，+∞），②（1，
]．
| x2-3x+3 |
| x-2 |
| (x-2)2+(x-2)+1 |
| x-2 |
| 1 |
| x-2 |
因为x＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+
| 1 |
| x-2 |
(x-2)?
|
所以函数f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则m≥3，
即实数m的取值范围为[3，+∞）．
②因为a＞1，x＞2，所以g（x）≥a2，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x1∈（2，+∞），?x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），
则有a2≤3，解得1＜a≤
| 3 |
| 3 |
故答案为：①[3，+∞），②（1，
| 3 |
点评：本题考查利用基本不等式求函数在闭区间上的最值、函数单调性的应用，考查恒成立问题，本题中对恒成立问题的等价转化是解决问题的关键．
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