Question

（2011•宁德模拟）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，离心率为

2

2

，直线l：x+2y-2=0与x轴，y轴分别交于点A，B．
（Ⅰ）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若线段AB上存在点P满足|PF₁+PF₂|=2a，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为直线l：x+2y-2=0与x轴，y轴分别交于点A，B，可求出A，B点坐标，再根据点A是椭圆E的一个顶点，求出a=2，
根据（Ⅱ椭圆的离心率为

2

2

，求出c值，再根据a，b，c的关系求出b的值，得到椭圆E的方程．
（Ⅱ）因为线段AB上存在点P满足|PF₁+PF₂|=2a，则P为线段AB与椭圆的一个交点，也即线段E与椭圆E有公共点．所以若联立方程，则方程组有解，可通过判断方程组何时在[0，2]上有解来求a的范围．

解答：解：解法一：（Ⅰ）由椭圆的离心率为a=

2

b，故a=

2

b，
由A（2，0），得，∴b=

2

，
所以所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由e=

2

2

，可设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
联立

x2 2b2 + y2 b2 =1 x+2y-2=0

得

3

2

x2-2x+2-2b2=0，
已知线段E上存在点E满足E，即线段E与椭圆E有公共点，
等价于方程

3

2

x2-2x+2-2b2=0在x∈[0，2]上有解．
∴a2=2b2=

3

2

x2-2x+2=

3

2

(x-

2

3

)2+

4

3

，
由x∈[0，2]，故

4

3

≤a2≤4，
故所求的a的取值范围是

2 3

3

≤a≤2．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆关系的判断，做题时要认真分析，避免出错．