Question

已知：f（x）=acosx+bcos2x+1
（1）若g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0），将函数y=g（x）的图象左移

π

12

个单位得函数y=h（x）的图象，求函数y=h（x）的周期与单调增区间；
（2）若b≤0，对任意x均有f（x）≥0恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出 g（x）的解析式，根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得函数h（x）的解析式，从而求出函数y=h（x）的周期与单调增区间．
（2）令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），则g（t）≥0，再分当b=0、和当b＜0两种情况，分别求出a+b的最大值，从而得出结论．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0）=b•cos2x+3，将函数y=g（x）的图象左移

π

12

个单位得函数y=bcos2（x+

π

12

）+3=bcos(2x+

π

6

)+3的图象，
故h（x）=bcos(2x+

π

6

)+3（b＞0）．…1′
故函数y=h（x）的周期为π，由2kπ-π ≤2x+

π

6

≤ 2kπ，k∈z，可得kπ-

7

12

π≤x≤kπ-

π

12

，故单调增区间为(kπ-

7

12

π，kπ-

π

12

)，（k∈Z）．…6′
（2）因为b≤0，对任意x恒有f（x）≥0成立，则2bcos²x+acosx+1-b≥0
令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），则有g（t）≥0．…7′
当b=0时，g（t）=at+1有g（1）≥0且g（-1）≥0，即-1≤a≤1，（a+b）_max=1；…9′
当b＜0时，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]）有：

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

2b-a+1-b≥0 2b+a+1-b≥0

，即-1≤a+b≤2b+1＜1，…11′
综上可得：（a+b）_max=1．…12′

点评：本题主要考查余弦函数的增区间，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，求三角函数的最值，属于中档题．