题目内容
（1）如图，D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，E和F分别在边AC和BC上，且ED⊥FD，求证：EF2=AE2+BF2（EF2表示线段EF长度的平方）（尝试用向量法证明）（2）已知函数f（x）=x3-3x图象上一点P（1，-2），过点P作直线l与y=f（x）图象相切，但切点异于点P，求直线l的方程．
分析：（1）连接EF，取EF的中点为G，根据向量的加法法则得
+
=2
，又|
|=2|
|，从而有
2=(2
)2=(
+
)2，又AC⊥BC，展开上式即得证．
（2）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2-3，进而求出所过点切线的斜率，设另一切点为（x0，y0），代入点斜式公式，求出该点切线方程，再由条件计算．
| AE |
| BF |
| DG |
| EF |
| DG |
| EF |
| DG |
| AE |
| BF |
（2）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2-3，进而求出所过点切线的斜率，设另一切点为（x0，y0），代入点斜式公式，求出该点切线方程，再由条件计算．
解答：
解：（1）连接EF，取EF的中点为G，
又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，
∴
=
+
+
，
=
+
+
，
两式相加，注意到
+
=
，
+
=
，
得
+
=2
，又在直角三角形EFD中，|
|=2|
|，
故|
|2=(2|
|)2，即
2=(2
)2=(
+
)2
又AC⊥BC，展开上式即EF2=AE2+BF2
得证． （6分）
（其他方法也给分，向量的代数运算要引起学生的关注）
（2）设为（x0，y0）函数f（x）=x3-3x图象上任一点，
易得f′（x）=3x2-3，则f′(x0)=3x02-3，
故（x0，y0）处切线为y-y0=(3x02-3)(x-x0)
又知过P（1，-2）点，代入解方程得：x0=1（舍），x0=-
故所求直线的斜率k=-
，从而切线方程为：9x+4y-1=0（12分）
解：（1）连接EF，取EF的中点为G，又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，
∴
| DG |
| DA |
| AE |
| EG |
| DG |
| DB |
| BF |
| FG |
两式相加，注意到
| DA |
| DB |
| 0 |
| EG |
| FG |
| 0 |
得
| AE |
| BF |
| DG |
| EF |
| DG |
故|
| EF |
| DG |
| EF |
| DG |
| AE |
| BF |
又AC⊥BC，展开上式即EF2=AE2+BF2
得证． （6分）
（其他方法也给分，向量的代数运算要引起学生的关注）
（2）设为（x0，y0）函数f（x）=x3-3x图象上任一点，
易得f′（x）=3x2-3，则f′(x0)=3x02-3，
故（x0，y0）处切线为y-y0=(3x02-3)(x-x0)
又知过P（1，-2）点，代入解方程得：x0=1（舍），x0=-
| 1 |
| 2 |
故所求直线的斜率k=-
| 9 |
| 4 |
点评：本题主要考查的是向量在几何中的应用、直线的点斜式方程的求解、导数的几何意义等，属于基础题．
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