Question

若向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），已知函数f（x）=

m

•

n

（ω＞0）的周期为

π

2

（1）求ω的值、函数f（x）的单调递增区间、函数f（x）的零点、函数f（x）的对称轴方程；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由两个向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式及已知周期求出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的性质即可确定出f（x）的单调递增区间、函数f（x）的零点、函数f（x）的对称轴方程；
（2）利用余弦定理表示出cosx，将已知等式代入并利用基本不等式变形求出cosx的范围，利用余弦函数的性质确定出这个角的范围，再利用正弦函数的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x）的周期为

π

2

，ω＞0，
∴

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2，即f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到f（x）的单调递增区间为：-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
令4x-

π

6

=kπ，k∈Z，得f（x）的零点为：x=

kπ

4

+

π

24

，k∈Z；
令4x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得到f（x）的对称轴方程为：x=

kπ

4

+

π

6

，k∈Z；
（2）由题意得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，即-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
∴-1≤sin（4x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
则f（x）的值域为[-1，

1

2

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及余弦定理，熟练掌握公式是解本题的关键．