Question

已知函数f（x）=sinωx+sin（ωx+

π

2

），ω＞0且函数f（x）的最小正周期为2π．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值的x值；
（2）若α∈（0，π）且f（α）=

3

4

，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用诱导公式与辅助角公式可求得f（x）=

2

sin（ωx+

π

4

），f（x）的最小正周期为2π，可知ω=1，于是f（x）=

2

sin（x+

π

4

），从而可求f（x）的最大值及取得最大值的x值；
（2）f（α）=

3

4

⇒sinα+cosα=

3

4

①，继而可得cosα-sinα=-

23

4

②，①②联立即可求得cosα的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+sin（ωx+

π

2

）
=sinωx+cosωx
=

2

sin（ωx+

π

4

），
∵f（x）的最小正周期为2π，
∴ω=

2π

T

=1，
∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

）；
其最大值为

2

，当x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=2kπ+

π

4

（k∈Z），时f（x）取得最大值；
（2）∵f（α）=

3

4

，即sinα+cosα=

3

4

①，
得：2sinαcosα=-

7

16

且α∈（

π

2

，π），
又（cosα-sinα）²=1+

7

16

=

23

16

，
∴cosα-sinα=-

23

4

②，
由①、②解得cosα=

3

8

-

23

8

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．