Question

【题目】如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角满足tan＝（其中0＜θ＜)，现要经过P修条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点．

（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；

（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置．

Answer 1

【答案】（1）（2）要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距点千米处.

【解析】

（1）以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，得到的方程，进而求得点P的坐标，

法一：由题意得,求得B点的纵坐标为3，进而得到点的坐标，即可得到答案。

法二：由题意得2mPA＝mPB，求得，根据向量相等，求得点的坐标，即可求解。

（2）法一：由题意，得到造价的表达式，设，得到要使S最小，只要y最小，分类讨论，即可求解。

法二：作交OB于M，交y轴于点Q，作交OA于N，求得OQ＝1，进而得到总造价，设,要使S最小，只要y最小，即可求解。

以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，

因为，所以，

设P（2t,t）,由OP=，得t=1，所以P（2,1）

法一：由题意得,所以BP=2PA,所以B点的纵坐标为3，

有因为点B在直线上，所以B（3,3）

所以.

法二：由题意得2mPA＝mPB，所以.

设A（a，0）（a＞0），又点B在射线y＝x（x＞0）上，所以可设B（b，b）（b＞0），

由，得所以

所以.

答：A，B之间的距离为千米.

（2）法一：设总造价为S．则

设,要使S最小，只要y最小

当轴时，A（2，0），这时OA＝2,,

所以.

当AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为，

令y＝0，得点A的横坐标为，所以,

令x＝y，得点B的横坐标为，

因为且，所以k＜0或k＞1,

此时,

,

当k＜0时，y在上递减，在（-1,0）上递增，

所以，此时;

当k＞1时，

综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距点千米处.

法二：如图，作交OB于M，交y轴于点Q

作交OA于N，困为P（2，1），所以OQ＝1

又因为∠BOQ＝45°，所以,

所以,

由,得,

所以,

设总造价为S，则,

设,要使S最小，只要y最小.

当且仅当时取等号，此时.

答：要使OA,OB段道路的翻修总价最少，位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.