Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)，bn=

2n

an

．
（1）证明：

1

an

-

1

an-1

=

1

2

；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知递推关系式可判断数列{

an-1-an

anan-1

}为常数列，结合a₁=2，a₂=1即可证明结论
（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，从而得

1

an

，进而确定b_n，最后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)
∴数列{

an-1-an

anan-1

}为常数列
∴

an-1-an

anan-1

=

1

an

-

1

an-1

=

a1-a2

a2a1

=

1

2

  （n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

n

2

，
∴bn=

2n

an

=n×2n-1
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
2S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=

1-2n

1-2

-n×2n=(1-n)2n-1，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题考查了数列的递推公式及其应用，等差数列的定义及通项公式，错位相减法求一般数列的前n项和