Question

17．函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+2x+a-3}}$的定义域为实数集R，则a取值集合为{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的定义域为实数集R，得出不等式ax²+2x+a-3＞0在x∈R上恒成立；
讨论a的取值范围，求出满足条件的a的取值集合即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+2x+a-3}}$的定义域为实数集R，
∴ax²+2x+a-3＞0在x∈R上恒成立；
当a=0时，不等式化为2x-3＞0，不满足题意；
当a≠0时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-4a（a-3）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞\frac{3+\sqrt{13}}{2}或a＜\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
即a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$；
∴a的取值集合为{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．
故答案为：{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．

点评 本题考查了求函数的定义域以及不等式的恒成立问题，是基础题目．