Question

7．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，若关于x的方程$min\left\{{2\sqrt{x}，|{x-2}|}\right\}=m$（m∈R）有三个不同的实根x₁，x₂，x₃，则（　　）

• A． x₁+x₂+x₃有最小值，x₁x₂x₃无最大值
• B． x₁+x₂+x₃无最小值，x₁x₂x₃有最大值
• C． x₁+x₂+x₃有最小值，x₁x₂x₃有最大值
• D． x₁+x₂+x₃无最小值，x₁x₂x₃无最大值

Answer 1

分析 先比较2$\sqrt{x}$与|x-2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x₁，x₂，x₃，的值，从而求出x₁+x₂+x₃的取值范围和x₁•x₂•x₃的最值．

解答 解：令y=f（x）=min{2$\sqrt{x}$，|x-2|}，
由2$\sqrt{x}$≥|x-2|可得x²-8x+4≤0，
解可得4-2$\sqrt{2}$≤x≤4+2$\sqrt{2}$，
当4-2$\sqrt{2}$≤x≤4+2$\sqrt{2}$时，
2$\sqrt{x}$≥|x-2|，此时f（x）=|x-2|；
当x＞4+2$\sqrt{2}$或0≤x＜4-3$\sqrt{2}$时，
2$\sqrt{2}$＜|x-2|，此时f（x）=2$\sqrt{x}$，
其图象如图所示，
∵f（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：
0＜m＜2$\sqrt{3}$-2，
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，
由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2-m+m+2=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，
当m=0时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=4，m=2$\sqrt{3}$-2时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=8-2$\sqrt{3}$，
∴4＜x₁+x₂+x₃＜8-2$\sqrt{3}$．
即x₁+x₂+x₃无最小值；
x₁•x₂•x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$（2-m）（m+2）=$\frac{1}{4}$m²（4-m²）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$）²=1，
当且仅当m=$\sqrt{2}$∈（0，2$\sqrt{3}$-2），则x₁•x₂•x₃取得最大值1．
故选：B．

点评 本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．