题目内容
已知抛物线y2=2x．（1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为
| 1 | 16 |
（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．
分析：（1）根据P1和P2的坐标可表示出P1P2的中点的坐标，进而求得P3的横坐标和纵坐标．代入△P1P2P3的面积表达式，化简整理即可．
（2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
（3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）可得到答案．
（2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
（3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）可得到答案．
解答：解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2），
∴P1P2的中点为M1(
，
)
点P3的横坐标x=
=
，纵坐标y=
△P1P2P3的面积=
的绝对值
=
|x1y2-x2y1+
(y1+y2)+
(y1+y2)2|
=
|
-
+
(y1+y2)+
(y1+y2)2|
=
|y1-y2|•|4y1y2-2(y1+y2)2+(y1+y2)2|
=
|y1-y2|•|-(y1-y2)2|
=
|y1 -y2|3．
（2）∵P1的坐标为（x1，y1），
P3的坐标为(
，
)，
∴P1P3的中点为M2(
，
)，
点Q1的横坐标x=
=
，纵坐标y=
.
同理，点Q2的横坐标x=
，纵坐标y=
.
△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
=
的绝对值+
的绝对值
=
|y22[2(y1+y2)-(3y1+y2)]+
[2(y1+y2)-(3y1+y2)]+
[(3y1+y2)2-4(y1+y2)2]|+
|y22[2(y1+y2)-(y1+3y2)]+
[2(y1+y2)-(y1+3y2)]+
[(y1+3y2)2-4(y1+y2)2]|
=
|y2-y1|•|(y1-y2)2|+
|y1-y2|•|（y2-y1）2|
=
|y1-y2|3．
（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
S=S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）
=
|y1-y2|3+
|y1-y2|3+
|y1-y2|3
=
=
|y1-y2|3．
∴P1P2的中点为M1(
| x1+x2 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
点P3的横坐标x=
| y2 |
| 2 |
| (y1+y2)2 |
| 8 |
| y1+y2 |
| 2 |
△P1P2P3的面积=
| 1 |
| 2 |
|
=
| 1 |
| 2 |
| x2-x1 |
| 2 |
| y1-y2 |
| 8 |
=
| 1 |
| 2 |
| y12y2 |
| 2 |
| y1y22 |
| 2 |
| y22-y12 |
| 2 |
| y1-y2 |
| 8 |
=
| 1 |
| 16 |
=
| 1 |
| 16 |
=
| 1 |
| 16 |
（2）∵P1的坐标为（x1，y1），
P3的坐标为(
| (y1+y2)2 |
| 8 |
| y1+y2 |
| 2 |
∴P1P3的中点为M2(
| 5y12+2y1y2+y22 |
| 16 |
| 3y1+y2 |
| 4 |
点Q1的横坐标x=
| y2 |
| 2 |
| (3y1+y2)2 |
| 32 |
| 3y1+y2 |
| 4 |
同理，点Q2的横坐标x=
| (y1+3y2)2 |
| 32 |
| y1+3y2 |
| 4 |
△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
=
| 1 |
| 2 |
|
| 1 |
| 2 |
|
=
| 1 |
| 16 |
| (y1+y2)(3y1+y2) |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
| 1 |
| 16 |
| (y1+y2)(y1+3y2) |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
=
| 1 |
| 128 |
| 1 |
| 128 |
=
| 1 |
| 64 |
（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
S=S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）
=
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| 256 |
=
| ||
1-
|
| 1 |
| 12 |
点评：本题主要考查抛物线的基本性质和用行列式的方法求面积．考查计算能力和综合运用能力．
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已知抛物线y2=2x，设点A的坐标为（
，0），则抛物线上距点A最近的点P的坐标为（ ）
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| A、（0，0） |
| B、（0，1） |
| C、（1，0） |
| D、（-2，0） |