Question

已知抛物线y²=2x，设A，B是抛物线上不重合的两点，且

OA

⊥

OB

，

OM

=

OA

+

OB

，O为坐标原点．
（1）若|

OA

|=|

OB

|，求点M的坐标；
（2）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由抛物线的对称性知，AB垂直于横轴，可设直线AB的方程是x=b，用b表示出两点A，B的坐标，再由

OA

⊥

OB

建立方程求出b即可，利用向量的坐标运算，求出向量OM的坐标既得点M的坐标．
（2）设出直线AB的方程y=kx+b，与抛物线的方程联立，利用

OA

⊥

OB

，找出两参数的关系，用参数表示出两点A，B的横坐标的和与纵坐标的和，即得出点M的坐标的参数方程，消去参数即得点M的轨迹方程．

解答：解：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由抛物线的对称性知，AB垂直于横轴，可设直线AB的方程是x=b，可解得A，B两点的坐标分别为（b，

2b

），（b，-

2b

），则

OA

=（b，

2b

）

OB

=（b，-

2b

），有

OA

⊥

OB

得b²-2b=0，得b=0（舍），b=2，故，B两点的坐标分别为（2，2），（2，-2）
又

OM

=

OA

+

OB

=（4，0），故点M的坐标为（4，0），
（2）当斜率不存在时，由（1）知点M的坐标为（4，0），
当斜率存在时，可设过两点A，B的直线方程为x=ny+m代入抛物线y²=2x得y²=2ny+2m，即y²-2ny-2m=0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有y₁y₂=-2m，y₁+y₂=2n，
故有x₁x₂=（ny₁+m）（ny₂+m）=n²y₁y₂+nm（y₁+y₂）+m²=-2mn²+2mn²+m²=m²，
    x₁+x₂=n（y₁+y₂）+2m=2n²+2m
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴-2m+m²=0，得m=2或m=0（舍）
∵

OM

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（2n²+2m，2n）=（2n²+4，2n），令M（x，y），则有

x=2n2+4 y=2n

，消去参数得x=

y2

2

+4，即y²=2x-8
验证知点M的坐标为（4，0）符合y²=2x-8
故动点M的轨迹方程是y²=2x-8

点评：本题考查向量在几何中的应用，考查了由抛物线的简单性质，以及根据抛物线的两点之间的位置关系求动点的轨迹方程，求解本题的关键是厘清题设中所给的条件，以及向量的坐标运算，数量积与垂直的关系，向量垂直时坐标之间的关系，本题的难点在于设出过两点AB的直线方程与抛物线联立寻求抛物线上两点的坐标之间的参数表示，解题过程中要联想到所解出的坐标方程与题设中位置关系的联系．解题最后所得的点M的参数方程，由于近几年大多教材都删去了参数方程这一部分的知识，故在做此题时，没有学过参数方程的同学解出

x=2n2+4 y=2n

就不用再往下化简了．