Question

2．已知函数f（x）=||x-1|-1|，关于x的方程f（x）=t恰有4个不等实根的个数，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁+x₂+x₃x₄的范围是（3，4）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的表达式，作出函数f（x）的图象，求得t的范围，用t分别表示出x₁，x₂，x₃，x₄，结合二次函数的值域即可得到．

解答 解：f（x）=||x-1|-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜0}\\{x，0＜x＜1}\\{-x+2，1＜x＜2}\\{x-2，x≥2}\end{array}\right.$，
由图可知，若f（x）=t的四个互不相等的实数根，
则t∈（0，1），
且x₁，x₂，x₃，x₄分别为
-x₁=t，x₂=t，-x₃+2=t，x₄-2=t，
即x₁=-t，x₂=t，x₃=2-t，x₄=2+t，
则x₁+x₂+x₃x₄=-t+t+（2-t）（2+t）=4-t²，
由t∈（0，1），可得x₁+x₂+x₃x₄∈（3，4）．
故答案为：（3，4）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的解析式，利用数形结合分别用t表示出x₁，x₂，x₃，x₄的值是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．