Question

已知函数f（x）=x²-ax+2，g（x）=ax+2
（1）若关于x的方程f（x）=g（x）在（1，2）内恰有一解，求a的取值范围；
（2）设h（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，求h（x）的最小值；
（3）定义：已知函数T（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数T（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．如果f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得函数M（x）=f（x）-g（x）=x²-2ax 在（1，2）内恰有一个零点，故有M（1）M（2）=（1-2a）（4-4a）＜0，由此求得a的范围．
（2）①当a＞0时，h（x）=

x2-ax+2，x≤0或x≥2a ax+2，0＜x＜2a

，分类讨论求得h（x）的最小值为2．②当a＜0时，h（x）=

x2-ax+2，x≥0或x≤2a ax+2，2a＞x＞0

，同理求得h（x）的最小值为2．
③当a=0时，h（x）=x²+2≥2，∴h（x）的最小值为2．综上可得结论．
（3）f（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其对称轴为x=

a

2

，根据新定义，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：（1）关于x的方程f（x）=g（x）在（1，2）内恰有一解，即函数M（x）=f（x）-g（x）=x²-2ax 在（1，2）内恰有一个零点，
故有M（1）M（2）=（1-2a）（4-4a）＜0，求得

1

2

＜a＜1．
（2）①当a＞0时，设h（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，即h（x）=

x2-ax+2，x≤0或x≥2a ax+2，0＜x＜2a

，故当2a＞x＞0时，ax+2＞2；
当x≤0时，x²-ax+2≥2；当x≤2a时，x²-ax+2≥2a²+2＞2，
故h（x）的最小值为2．
②当a＜0时，h（x）=

x2-ax+2，x≥0或x≤2a ax+2，2a＞x＞0

，同理求得h（x）的最小值为2．
③当a=0时，h（x）=x²+2≥2，∴h（x）的最小值为2．
综上可得，h（x）的最小值为2．
（3）f（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其对称轴为x=

a

2

．
①当

a

2

≤a，即a≥0时，函数f（x）_min=f（a）=a²-a²+2=2．
若函数f（x）具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2．
②当a＜

a

2

＜a+1，即-2＜a＜0时，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+2．
若函数f（x）具有“DK”性质，则有-

a2

4

+2≤a总成立，解得a∈∅．
③当

a

2

≥a+1，即a≤-2时，
函数f（x）的最小值为f（a+1）=a+3．
若函数f（x）具有“DK”性质，则有a+3≤a，解得a∈∅．
综上所述，若f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性质，则a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题主要考查新定义，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．