Question

在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点．

   （1）求证：BE∥平面PCD；

   （2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

 

Answer 1

证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．

因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．

因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四边形BCFE为平行四边形．

所以BE∥CF．     

因为BE平面PCD，CF平面PCD，

所以BE∥平面PCD．                            

（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．

因为BE∥CF，所以PA⊥CF．                   

因为PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD．                       

因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD．