Question

(本小题满分16分)

已知函数.

(Ⅰ) 当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，

（）若对任意，存在，使，求实数取值范围.

() 对于任意都有，求的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)函数的定义域为，因为，

所以当时，，令得，所以此时函数在上是增函数，在是减函数；                        -----------------------------------------2分         

当时，，所以此时函数在是减函数；

当时，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数；         --------------------------------------------------------------4分

当，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数；             --------------------------------------------------------------6分

当，由于，，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数.               --------------------------------------------------------------8分

（Ⅱ） （）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，

有，又已知存在，使，所以，，

即存在，使，即，即，

所以，解得，即实数取值范围是.  ----------------------------12分

()不妨设，由函数在上是增函数，函数在是减函数，

等价于，所以

设是减函数，

所以在上恒成立，即，解得.-------------16分