Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9即可求得a₂，a₃，a₄的值，从而可猜想{a_n}的通项公式；
（2）由（1）猜得a_n=

6n-5

2n-1

，利用数学归纳法证明，分三步：①当n=1时，猜想成立；②设当n=k（k∈N^*）时，猜想成立，去证明n=k+1时猜想也成立（应用上归纳假设），③综上所述，即可证得猜想成立．

解答：解：（1）由4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9得a_n+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，
∵a₁=1，
∴a₂=2-（-

1

3

）=

7

3

，
同理可求，a₃=

13

5

，a₄=

19

7

，猜想a_n=

6n-5

2n-1

             …（5分）
（2）证明：①当n=1时，猜想成立．
②设当n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即a_k=

6k-5

2k-1

，
则当n=k+1时，有a_k+1=2-

1

ak-4

=2-

1

6k-5 2k-1 -4

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
所以当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N^*都成立．                      …（10分）

点评：本题考查数学归纳法，通过计算猜得a_n=

6n-5

2n-1

是关键，考查推理、运算、猜想与证明的能力，属于中档题．