Question

19．已知等比数列{a_n}和等差数列{b_n}均是首项为2，各项为正数的数列，且b₂=4a₂，a₂b₃=6．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求使a${\;}_{{b}_{n}}$＜0.001成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）得a_bn=a_2n=$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，利用a_bn＜0.001，化简即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，{b_n}的公差为d，d＞0．
∵b₂=4a₂，a₂b₃=6．∴2+d=4×2q，2q×（2+2d）=6，
解得d=2，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$，b_n=2+2（n-1）=2n．
（2）由（1）得a_bn=a_2n=$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，
∵a_bn＜0.001，
即$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$＜0.001，∴2^2n-2＞1 000，∴2n-2≥10，
即n≥6，∴满足题意的正整数n的最小值为6．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．