Question

1．若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦长为6，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． 10
• B． $4+2\sqrt{6}$
• C． $5+2\sqrt{6}$
• D． $4\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知中圆的方程x²+y²+4x-4y-1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦长为6，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答 解：圆x²+y²+4x-4y-1=（x+2）²+（y-2）²=9是以（-2，2）为圆心，以3为半径的圆，
又∵直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦长为6，
∴直线过圆心，
∴a+b=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（a+b）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=5+2$\sqrt{6}$，当且仅当a=$\sqrt{6}$-2，b=3-$\sqrt{6}$时取等号，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值的最小值为5+2$\sqrt{6}$，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．