Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

Answer 1

本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得，

故点A到平面PBC的距离等于。