Question

已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，求证

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差数列．

Answer 1

分析：根据题意得

2

b

=

1

a

+

1

c

，化简整理得2ac=b（a+c）．再将

b+c

a

+

a+b

c

通分，将分子中的b（a+c）换成ac，分母中的ac换成

1

2

b(a+c)，结合完全平方公式约分化简得

b+c

a

+

a+b

c

=2•

c+a

b

，结合等差中项的定义即可得到

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差数列．

解答：解：∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，去分母化简整理得2ac=b（a+c）
∵

b+c

a

+

a+b

c

=

bc+c2+a2+ab

ac

=

b(a+c)+a2+c2

ac

=

2ac+a2+c2

ac

=

(a +c)2

ac

=

(a +c)2

1 2 b(a+c)

=2•

c+a

b

∴

c+a

b

-

b+c

a

=

a+b

c

-

c+a

b

，可得

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差数列．

点评：本题给出

1

a

、

1

b

、

1

c

成等差数列，求证

b+c

a

、

c+a

b

、

a+b

c

也成等差数列．着重考查了运用完全平方公式和约分的方法将分式化简、等差数列的定义和等差关系的确定方法等知识，属于中档题．